纸牌游戏“拖拉机”的玩法和概率模型
2019年8月9日星期五
纸牌指扑克牌，一共54张，分为：大小王，2张；红心A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K，13张；方片A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K，13张；黑桃A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K，13张；梅花A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K，13张。从数字化角度出发，A相当于1，J相当于11，Q相当于12，K相当于13或0。每组花色的13张牌的数字构成了Z13（整数模13的剩余类）的元素，但这种观点主要应用于：1、2、3、……、12、0、1、2、……的反复循环。
扑克牌四种花色（图片来自网络）
纸牌游戏“拖拉机”的玩法概要是：若干参与者，从事先随机洗好的52张牌中（本游戏排除了“大小王”），依次抓取3张牌比大小，大赢小输。
如何规定三张牌的大小？
主要考虑三点：牌面数字大小、牌面数字是否相同或连续、牌面花色是否相同。
具体分为六大类牌，按牌面由大到小排序：
①炸弹。比如：A_A_A、1_1_1、2_2_2、……、K_K_K，可见，三张牌牌面数字要完全相同。
②清一色拖拉机。比如：梅花A_梅花2_梅花3、红心9_红心10_红心J、黑桃Q_黑桃K_黑桃A、……，可见，三张牌不仅要花色完全相同，而且数字要全部连续。值得注意的是：K_A_2并不算连续，Q_K_A算连续且为“拖拉机”里最大的，因此这种规则与“整数模13的剩余类运算”还有差别。
③其他拖拉机。这个比②简单，不要求花色，只要求数字全部连续，如：2_3_4、7_8_9、A_K_Q、……。
④清一色。这个完全不管牌面数字，只要求花色完全相同，比如：梅花_梅花_梅花、红心_红心_红心、黑桃_黑桃_黑桃、方片_方片_方片。
⑤对子。不论花色，只论数字是否出现2张相同，如：红心7_黑桃7_梅花J。
⑥单牌。三张牌牌面数字无相同、不完全连续，且花色不完全一致。
特殊情况的比大小：
（1）
甲：梅花K_红心9_红心3
乙：方片K_梅花9_方片4
乙的牌大，依次比较“老大、老二、老三”牌面数字，直到决出胜负；
（2）
甲：梅花K_红心4_方片4
乙：方片10_梅花5_黑桃5
乙的牌大，依次比较时，对子优先于单牌。
（3）
甲：梅花8_梅花7_梅花6
乙：方片8_方片7_方片6
牌面大小完全一样时，庄家牌大半点。
（4）
甲：A_A_A
乙：K_K_K
甲的牌大，这是对A的约定，不过“拖拉机”中A_2_3算最小。
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上面是玩法介绍，下面是概率模型。
文字版：
sum 总组合数： 22100 100.0000%
1 炸弹： 52 0.2353%
2 清一色拖拉机： 48 0.2172%
3 其他拖拉机： 720 3.2579%
4 清一色： 1096 4.9593%
5 对子： 3744 16.9412%
6 单牌： 16440 74.3891%
其中：两张同花 9864 44.6335%
其中：三张不同花 6576 29.7557%
图片如下：
纸牌游戏“拖拉机”概率模型
关于计算方法：
一是采用了分类组合计算，验证组合总数的办法。比如：组合总数C（52，3）=（52×51×50）÷（3×2×1）=22100（种），其余不再详述。
二是使用计算机罗列检测了全部22100种组合，验证了结论正确。
几条颇为新鲜的结论：
1.“清一色拖拉机”出现的概率居然比“炸弹”略大；
2.出现概率最高的牌是“两张同花的单牌”，概率约为：44.6%，比2把中出现1把略低；
3.平均4人当中，约有3人会拿单牌，概率约为：74.4%。所谓“单牌”，往往是赢牌无望、直接扔掉的牌，不过单A也是很鸡肋的牌；
4.概率对于所有参与者是公平的，指望概率模型提升“赌赢可能”是愚蠢的，决胜的关键在于参与者的胆识、判断、经验、获取其他参与者“特殊信息”的能力，甚至是讲一讲“三十六计”一类的策略。
（重要程度 暂无）
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这些东西我已经计算出有些日子了，今日心血来潮，在头条中发一下。我对“赌”没有天分和兴趣，只是对“概率”感兴趣而已，喜欢从概率的角度思考下问题。事实上，概率学是萌芽于赌场中的问题的，二者有天然的联系。同时，本文所做的这些，丝毫不能证明我的所谓“赌术”，玩这种游戏，我是很愚蠢的。朋友们玩时察言观色，胆识决断，虚虚实实，你来我往，彼此总结，不断提升，我是只有羡慕和向往的……
